已知△ABC的角A,B,C所對的邊a,b,c,且acosC+
12
c=b

(1)求角A的大。
(2)若a=1,求b+c的最大值并判斷這時三角形的形狀.
分析:(1)由正弦定理得sinAcosC+
1
2
sinC=sinB
,化簡可得
1
2
sinC=cosAsinC
,所以
1
2
=cosA
,求得A的值.
(2)由余弦定理、基本不式可得(b+c)2≤4,可得b+c的最大值為2,當且僅當a=b=c=1時有最大值,由此可得三角形的形狀.
解答:解:(1)由正弦定理得sinAcosC+
1
2
sinC=sinB
,所以sinAcosC+
1
2
sinC=sin(A+C)

化簡可得
1
2
sinC=cosAsinC
,所以
1
2
=cosA
,求得A=
π
3
.…(6分)
(2)由余弦定理得1=b2+c2-2bc×
1
2
=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3(
b+c
2
)2
,
所以(b+c)2≤4,所以b+c的最大值為2,當且僅當a=b=c=1時有最大值,
這時△ABC為正三角形.…(12分).
點評:本題主要考查正弦定理和余弦定理、基本不等式的應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設向量
m
=(a,b)
n
=(sinB,sinA)
p
=(b-2,a-2)

(1)若
m
n
,求證:△ABC為等腰三角形;
(2)若
m
p
,邊長c=2,角C=
π
3
,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知△ABC的角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,設向量
m
=(a,b),
n
=(sinB,sinA),
p
=(b-2,a-2).
(1)若
m
n
,試判斷△ABC的形狀并證明;
(2)若
m
p
,邊長c=2,∠C=
π
3
,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sin2x-1,cosx),n=(
1
2
,cosx),設函數(shù)f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在[0,
π
2
]上的最大值;
(2)已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,A、B為銳角,f(A+
π
6
)=
3
5
,f(
B
2
-
π
12
)=
10
10
,又a+b=
2
+1,求a、b、c的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知△ABC的角A,B,C的對邊依次為a,b,c,若滿足
3
tanA•tanB-tanA-tanB=
3
,
(Ⅰ)求∠C大;
(Ⅱ)若c=2,且△ABC為銳角三角形,求a2+b2取值范圍.

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