Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，且過點 ．若點M（x0 ， y0）在橢圓C上，則點 稱為點M的一個“橢點”．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點，且A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，試求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由橢圓的離心率 ，得a=2c，

又a2=b2+c2，則 ，

∴橢圓 ，

由 在C上，則 ，得c=1

∴ ，

∴橢圓C的方程為：

（2）

解：設A（x1，y1），B（x2，y2），則P（ ， ），Q（ ， ），

由以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，得 ，

即 （1）

由 ，消除y整理得：（3+4k2）x2+8mk+4（m2﹣3）=0，

由△=64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，得3+4k2﹣m2＞0，

而 （2）

∴ （3）

將（2）（3）代入（1）得： ，

即2m2﹣4k2=3，

又∵ ，

原點O到直線l：y=kx+m的距離 ，

∴ ，

把2m2﹣4k2=3代入上式得 ，即S△AOB的面積是為 ．

【解析】（1）由橢圓的離心率公式，利用待定系數(shù)法及a，b，c的關系，即可取得a與b的值，求得橢圓方程；（2）以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，得 ，將直線l的方程代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式及點到直線的距離公式，將2m2﹣4k2=3代入即可求得△AOB的面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．