Question

20．已知變量x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}}\right.$，則z=x²+y²+2x+2y的取值范圍是（　�。�

• A． [8，23]
• B． [8，25]
• C． [6，23]
• D． [6，25]

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合兩點間的距離公式進行求解即可．

解答 解：z=x²+y²+2x+2y=（x+1）²+（y+1）²-2，
設(shè)m=（x+1）²+（y+1）²，則m的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到點D（-1，-1）的距離的平方，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
則點D到直線x+y-2=0的距離最小，此時d=$\frac{|-1-1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
AD的距離最大，由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
則AD=$\sqrt{（2+1）^{2}+（3+1）^{2}}$=$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$=5，
即（2$\sqrt{2}$）²≤m≤25，即8≤m≤25，
則6≤m-2≤23，
即6≤z≤23，
故選：C．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)零點間的距離公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．