11.如圖,梯形ABCD所在平面與以AB為直徑的圓所在平面垂直,O為圓心,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2CD.若點P是⊙O上不同于A,B的任意一點.
(Ⅰ)求證:BP⊥平面APD;
(Ⅱ)設(shè)平面BPC與平面OPD的交線為直線l,判斷直線BC與直線l的位置關(guān)系,并加以證明;
(Ⅲ)求幾何體DOPA與幾何體DCBPO的體積之比.

分析 (I)由面面垂直的性質(zhì)得出AD⊥平面APB,故AD⊥PB,由圓的性質(zhì)得出PB⊥AP,于是PB⊥平面APD;
(II)由DC$\stackrel{∥}{=}OB$可得BC∥OD,即BC∥平面ODP,由線面平行的性質(zhì)得出BC∥l;
(III)把三角形ADO和四邊形BCDO分別看做兩個幾何體的底面,則它們的高相等,故幾何體的體積比為三角形ADO和四邊形BCDO的面積比.

解答 (I)證明:∵∠BAD=90°,∴AD⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面⊙O,平面ABCD∩平面⊙O=AB,
∴DA⊥平面⊙O,∵PB?平面⊙O,
∴DA⊥PB.
∵AB是⊙O的直徑,∴PA⊥PB.
又PA?平面APD,DA?平面APD,PA∩DA=A,
∴PB⊥平面APD.
(II)BC∥l.
證明:∵AB∥CD,AB=2CD,O是圓心,
∴OB∥CD,OB=CD,
∴四邊形OBCD是平行四邊形,
∴BC∥OD,又BC?平面OPD,OD?平面OPD,
∴BC∥平面OPD,∵BC?平面BPC,平面BPC∩平面OPD=l,
∴BC∥l.
(III)設(shè)平行線AB,CD間的距離為d,圓O的半徑為r,P到平面ABCD的距離為h,
則幾何體DOPA的體積V1=$\frac{1}{3}{•S}_{△ADO}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}rdh$=$\frac{1}{6}rdh$.
幾何體DCBPO的體積V2=$\frac{1}{3}{S}_{四邊形BCDO}$•h=$\frac{1}{3}rdh$.
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}=\frac{1}{2}$.

點評 本題考查了線面垂直的判定,面面平行的性質(zhì),棱錐的體積計算,屬于中檔題.

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