Question

已知直線l：y=4x和點(diǎn)P（6，4），點(diǎn)A為第一象限內(nèi)的點(diǎn)且在直線l上，直線PA交x軸正半軸于點(diǎn)B，求△OAB面積的最小值，并求當(dāng)△OAB面積取最小值時(shí)的B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)A（a 4a），a＞0，點(diǎn)B坐標(biāo)為（b，0），b＞0，則直線PA的斜率為

4a-4

a-6

=

0-4

b-6

，解得 b 的值，求得B的坐標(biāo)為（

5a

a-1

，0），根據(jù)△OAB面積為 S=

10a2

a-1

，即10a²-Sa+S=0，利用判別式大于或等于零求出S的最小值，并求出此時(shí)a的值 即可得到B的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)點(diǎn)A（a 4a），a＞0，點(diǎn)B坐標(biāo)為（b，0），b＞0，則直線PA的斜率為

4a-4

a-6

=

0-4

b-6

，解得 b=

5a

a-1

，
故B的坐標(biāo)為（

5a

a-1

，0），故△OAB面積為 S=

1

2

×

5a

a-1

×4a=

10a2

a-1

，即 10a²-Sa+S=0．
由題意可得方程 10a²-Sa+S=0 有解，故判別式△=S²-40S≥0，S≥40，故S的最小值等于40，此時(shí)，方程為a²-4a=4=0，解得 a=2．
綜上可得，△OAB面積的最小值為40，當(dāng)△OAB面積取最小值時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線的一般式方程的應(yīng)用，直線的斜率公式，一元二次方程有解得條件，屬于基礎(chǔ)題．