Question

15．設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f″（x）．若在區(qū)間（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（a，b）上為“凸函數(shù)”．已知f（x）=$\frac{1}{6}$x³-$\frac{1}{2}$mx²+x在（-1，2）上是“凸函數(shù)”，則f（x）在（-1，2）上（　�。�

• A． 既有極大值，又有極小值
• B． 有極小值，無極大值
• C． 有極大值，無極小值
• D． 既無極大值，也無極小值

Answer 1

分析 求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，求出m的范圍，從而判斷出f′（x）的單調(diào)性，求出f（x）在（-1，2）的單調(diào)性即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{6}$x³-$\frac{1}{2}$mx²+x，
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$x²-mx+1，f″（x）=x-m，
已知f（x）=$\frac{1}{6}$x³-$\frac{1}{2}$mx²+x在（-1，2）上是“凸函數(shù)，
故x-m＜0在（-1，2）恒成立，
故m＞2，
f′（x）的對稱軸x=m＞2，f′（x）在（-1，2）遞減，
而f′（-1）=$\frac{3}{2}$+m＞0，f′（2）=3-2m＜0，
故f（x）在（-1，2）先遞增再遞減，
故f（x）在（-1，2）有極大值，無極小值，
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．