已知曲線C:y=-x2+x+2關(guān)于點(diǎn)M(a,2a)對稱的曲線為Cn,且曲線C與Cn有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B,設(shè)直線AB的斜率為k,求k的取值范圍.
分析:設(shè)出曲線Cn上的任一點(diǎn),利用對稱性找出該點(diǎn)關(guān)于M的對稱點(diǎn),代入曲線C后整理即可得到曲線Cn的方程,
兩曲線方程聯(lián)立后由判別式大于0得到a的取值范圍,由根與系數(shù)關(guān)系得到兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積,把縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示后作差,整理后得到兩點(diǎn)連線的斜率(用a表示),根據(jù)a的范圍可得直線AB的斜率范圍.
解答:解:設(shè)(x,y)為曲線Cn上的任一點(diǎn),
(x,y)關(guān)于點(diǎn)M(a,2a)的對稱點(diǎn)為(x0,y0),則x0=2a-x,y0=4a-y
依題意,點(diǎn)(x0,y0)在曲線C上∴4a-y=-(2a-x)2+2a-x+2
化簡整理,得曲線Cn的方程:y=x2-(4a-1)x+4a2+2a-2
由方程組
y=-x2+x+2
y=x2-(4a-1)x+4a2+2a-2

消去y,整理得:x2-2ax+2a2+a-2=0(*)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=2a,x1x2=2a2+a-2
y1=-
x
2
1
+x1+2,y2=-
x
2
2
+x2+2

兩式相減,得:
y1-y2=[1-(x1+x2)](x1-x2)
x1x2
∴k=
y1-y2
x1-x2
=1-(x1+x2)=1-2a

因曲線C與Cn交于不同兩點(diǎn),方程*應(yīng)有兩不等實(shí)根,∴△=4a2-4(2a2+a-2)>0
即a2+a-2<0
解之,得:-2<a<1,-1<1-2a<5
即AB的斜率k的取值范圍是-1<k<5.
點(diǎn)評:本題考查了直線與圓錐曲線的綜合題,考查了利用代入法求曲線的方程,訓(xùn)練了點(diǎn)差法求直線的斜率,考查了學(xué)生靈活處理和解決問題的能力,是有一定難度題目.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:y=
1
x
(x>0)
及兩點(diǎn)A1(x1,0)和A2(x2,0),其中x2>x1>0.過A1,A2分別作x軸的垂線,交曲線C于B1,B2兩點(diǎn),直線B1B2與x軸交于點(diǎn)A3(x3,0),那么( 。
A、x1, 
x3
2
, x2
成等差數(shù)列
B、x1, 
x3
2
, x2
成等比數(shù)列
C、x1,x3,x2成等差數(shù)列
D、x1,x3,x2成等比數(shù)列

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

17、已知曲線C:y=x3-x+2和點(diǎn)A(1,2),求過點(diǎn)A的切線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:y=
1
3
x3-x2-4x+1
,直線l:x+y+2k-1=0,當(dāng)x∈[-3,3]時(shí),直線l 恒在曲線C的上方,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( 。
A、k>-
5
6
B、k<-
5
6
C、K<
3
4
D、K>
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河西區(qū)二模)已知曲線C:y=x2(x>0),過C上的點(diǎn)A1(1,1)作曲線C的切線l1交x軸于點(diǎn)B1,再過點(diǎn)B1作y軸的平行線交曲線C于點(diǎn)A2,再過點(diǎn)A2作曲線C的切線l2交x軸于點(diǎn)B2,再過點(diǎn)B2作y軸的平行線交曲線C于點(diǎn)A3,…,依次作下去,記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an(n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:anSn≤1;
(3)求證:
n
i=1
1
aiSi
4n-1
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知曲線C:y=
1
x
,Cny=
1
x+2-n
(n∈N*).從C上的點(diǎn)Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點(diǎn)Pn,再過點(diǎn)Pn作y軸的垂線,交C于點(diǎn)Qn+1(xn+1,yn+1)設(shè),x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn -yn+1
(1)求點(diǎn)Q1、Q2的坐標(biāo);
(2)求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式;
(3)記數(shù)列{an•yn+1} 的前n項(xiàng)和為Sn,求證sn
1
3

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