Question

2．已知點P到兩個頂點M（-1，0），N（1，0）距離的比為$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程
（Ⅱ）過點M的直線l與曲線C交于不同的兩點A，B，設點A關于x軸的對稱點為Q（A，Q兩點不重合），證明：點B，N，Q在同一條直線上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點P到兩個頂點M（-1，0），N（1，0）距離的比為$\sqrt{2}$，建立等式，化簡，即可求得動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設出直線方程，代入軌跡C的方程，利用韋達定理，證明k_BN-k_QN=0，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：設P（x，y），則
∵點P到兩個頂點M（-1，0），N（1，0）距離的比為$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
整理得x²+y²-6x+1=0，
∴動點P的軌跡C的方程是x²+y²-6x+1=0；
（Ⅱ）證明：由題意，直線l存在斜率，設為k（k≠0），直線l的方程為y=k（x+1）
代入x²+y²-6x+1=0，
化簡得（1+k²）x²+（2k²-6）x+k²+1=0，
△＞0，可得-1＜k＜1．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則Q（x₁，-y₁），且x₁x₂=1，
∴k_BN-k_QN=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$-$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{2k（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=0，
∴B，N，Q在同一條直線上．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．