Question

15．甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則：甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨(dú)立作答，然后由乙回答剩余3道題，每人答對其中2道題就停止答題，即闖關(guān)成功．已知在6道備選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對每道題的概率都是$\frac{2}{3}$．
（1）求甲闖關(guān)成功的概率；
（2）求甲、乙二人至少有一人闖關(guān)成功的概率；
（3）設(shè)乙答對題目的個數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）對甲所選的題目分類討論，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出甲闖關(guān)成功的概率．
（2）設(shè)甲、乙闖關(guān)成功分別為事件A、B，則P（$\overline{A}$）=$\frac{{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$，P（$\overline{B}$）=$（1-\frac{2}{3}）^{3}+{∁}_{3}^{2}×\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）^{2}$，可得甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率是1-P（$\overline{A}\overline{B}$）=1-$P（\overline{A}）P（\overline{B}）$．
（3）由題意可得：ξ～B$（3，\frac{2}{3}）$，P（ξ=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{3-k}$，即可得出．

解答 解：（1）甲闖關(guān)成功的概率P=$\frac{{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{6}^{1}}×\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{5}^{1}}$+$\frac{{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{6}^{1}}×\frac{{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{1}}×\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{4}^{1}}$+$\frac{{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{1}}×\frac{{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{5}^{2}}$=$\frac{4}{5}$．
（2）設(shè)甲、乙闖關(guān)成功分別為事件A、B，
則P（$\overline{A}$）=$\frac{{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（$\overline{B}$）=$（1-\frac{2}{3}）^{3}+{∁}_{3}^{2}×\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{7}{27}$，
則甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率是1-P（$\overline{A}\overline{B}$）=1-$P（\overline{A}）P（\overline{B}）$=1-$\frac{1}{5}×\frac{7}{27}$=$\frac{128}{135}$．
（3）由題意可得：ξ～B$（3，\frac{2}{3}）$，P（ξ=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{3-k}$，

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

E（ξ）=$3×\frac{2}{3}$=2．

點(diǎn)評 本題考查了相互獨(dú)立與對立事件的概率計(jì)算公式、二項(xiàng)分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．