Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若$\frac{1}{2}≤\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}≤2$（n∈N^*），則稱{a_n}是“緊密數(shù)列”；
（1）若a₁=1，${a_2}=\frac{3}{2}$，a₃=x，a₄=4，求x的取值范圍；
（2）若{a_n}為等差數(shù)列，首項a₁，公差d，且0＜d≤a₁，判斷{a_n}是否為“緊密數(shù)列”；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列{a_n}與{S_n}都是“緊密數(shù)列”，求q的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，$\frac{1}{2}≤\frac{x}{\frac{3}{2}}≤2$且$\frac{1}{2}≤\frac{4}{x}≤2$，即可求出x的取值范圍；
（2）由題意，a_n=a₁+（n-1）d，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}+nd}{{a}_{1}+（n-1）d}$=1+$\frac{1}{\frac{{a}_{1}}cyka8qm+n-1}$$＞1≥\frac{1}{2}$，根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義即可證明結(jié)論；
（3）先設(shè)公比是q并判斷出q≠1，由等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式化簡$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$，根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義列出不等式組，再求出公比q的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，$\frac{1}{2}≤\frac{x}{\frac{3}{2}}≤2$且$\frac{1}{2}≤\frac{4}{x}≤2$，∴2≤x≤3，
∴x的取值范圍是[2，3]；
（2）由題意，a_n=a₁+（n-1）d，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}+nd}{{a}_{1}+（n-1）d}$=1+$\frac{1}{\frac{{a}_{1}}e82kye0+n-1}$$＞1≥\frac{1}{2}$，
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$隨著n的增大而減小，所以當(dāng)n=1時，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$取得最大值，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤2，
∴{a_n}是“緊密數(shù)列”；
（3）由題意得，等比數(shù)列{a_n}的公比q
當(dāng)q≠1時，所以a_n=a₁q^n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=$\frac{1-{q}^{n+1}}{1-{q}^{n}}$，
因為數(shù)列{a_n}與{S_n}都是“緊密數(shù)列”，所以$\frac{1}{2}≤q≤2$，$\frac{1}{2}≤$$\frac{1-{q}^{n+1}}{1-{q}^{n}}$≤2，解得$\frac{1}{2}≤q≤1$，
當(dāng)q=1時，a_n=a₁，S_n=na₁，則 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1，$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=1+$\frac{1}{n}$∈（1，$\frac{3}{2}$]，符合題意，
∴q的取值范圍是$[\frac{1}{2}，1]$．

點評 本題是新定義題，考查數(shù)列的a_n與S_n的關(guān)系式，等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義并會應(yīng)用．