(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)f (x)＝x3＋ax2－(2a+3)x+ a2 , a∈R．

(Ⅰ) 若x＝1是f (x)的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ) 設(shè)函數(shù)g(x)＝bx2－(2b＋1)x＋ln x (b≠0,b∈R),若函數(shù)f (x)有極大值，且g(x)的極大值點(diǎn)與f (x)的極大值點(diǎn)相同．當(dāng)時(shí)，求證：g(x)的極小值小于－1．

滿分14分。

    (Ⅰ) 解: f ′(x)＝3x2＋2ax－(2a+3)＝(x－1)(3x＋2a＋3)．由于x＝1是f (x)的極大值點(diǎn) ，故，即a <－3    …………………………7分

 (Ⅱ) 解: f ′(x)＝3x2＋2ax－(2a+3)＝(x－1)(3x＋2a＋3)．

g ′(x)＝＋2bx－(2b＋1)＝．

由于函數(shù)f (x)有極大值，故，即．

當(dāng) a＞－3時(shí)，即，則f (x)的極大值點(diǎn)，

所以，g(x)的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)為x＝1．

所以，，

此時(shí)，g(x)的極小值g(1)＝b－(2b＋1)＝－1－b<－<－1．………………14分

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本題滿分14分）

設(shè)函數(shù)，。

（1）若，過(guò)兩點(diǎn)和的中點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，求證：曲線在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)；

（2）若，當(dāng)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求在[—1，2]上的最小值； （3）當(dāng)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

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（本題滿分14分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1與
F2，直線過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F2且與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C經(jīng)過(guò)伸縮變換變成曲線，直線與曲線相切
且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，若，求面積的取值范圍。（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年浙江省杭州市高三寒假作業(yè)數(shù)學(xué)卷三 題型：解答題

（本題滿分14分）設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足”

 （I）證明：函數(shù)是集合M中的元素；

 （II）證明：函數(shù)具有下面的性質(zhì)：對(duì)于任意，都存在，使得等式成立。 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高三調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

本題滿分14分）

設(shè)函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）若，試確定的單調(diào)性；

（3）記，且在上的最大值為M，證明：．

 

 

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