Question

18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a、b、c，且bsinA=$\sqrt{3}$acosB．
（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，得tanB=$\sqrt{3}$，即可求B的值．
（2）利用三角形面積公式可得：$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ac$，由已知及余弦定理，基本不等式可得ac≤4，從而可求三角形面積的最大值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵bsinA=$\sqrt{3}acosB$，
由正弦定理可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，即得tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$…（5分）
（2）△ABC的面積$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ac$．
由已知及余弦定理，得$4={a^2}+{c^2}-2accos\frac{π}{3}={a^2}+{c^2}-ac$．
又a²+c²≥2ac，
故ac≤4，當且僅當a=c時，等號成立．
因此△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．