Question

7．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=$\sqrt{3}，BC=1，A{A_1}$=AC=2，E，F(xiàn)分別為A₁C₁，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）求證：C₁F∥平面ABE．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用直三棱柱側(cè)棱垂直于底面，以及勾股定理的逆定理，由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面B₁BCC₁，再由面面垂直的判定定理即可得證；
（2）取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，運(yùn)用平行四邊形的判定和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證．

解答 （1）證明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥AB，∵$AB=\sqrt{3}，BC=1，AC=2$
∴AB⊥BC，
∵BC∩BB₁=B，∴AB⊥平面B₁BCC₁，
又AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）證明：取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，
∵E，F(xiàn)分別是A₁C₁，BC的中點(diǎn)，
∴$FG∥AC，F(xiàn)G=\frac{1}{2}AC$，∵$AC\underline{\underline∥}{A_1}{C_1}$，∴$FG\underline{\underline∥}E{C_1}$，
∴FGEC₁為平行四邊形，∴C₁F∥EG，
又EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定和線面平行的判斷，注意運(yùn)用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，以及線面平行的判定定理，同時(shí)考查平面幾何的有關(guān)知識(shí)，考查推理能力，屬于中檔題．