Question

12．已知直線l₁與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為b，過M且與直線l₁垂直的直線l₂過雙曲線C的右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$
• C． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}$

Answer 1

分析 由A，B代入雙曲線方程，作差整理可得k=$\frac{c-b}{{y}_{M}}$=$\frac{^{3}}{{a}^{2}{y}_{M}}$，化簡得a²=bc，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（b，y_M），
由A，B代入雙曲線方程，作差整理可得k=$\frac{c-b}{{y}_{M}}$=$\frac{^{3}}{{a}^{2}{y}_{M}}$，
化簡得a²=bc，
即a⁴=（c²-a²）c²，有e⁴-e²-1=0，得e=$\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．