Question

求下列函數(shù)的值域
（1）y=（2cos²x+1）（2sin²x+1）；
（2）y=

2sinxcos2x

1+sinx

．

Answer 1

分析：（1）利用同角平方關(guān)系整理可得，y=（2cos²x+1）（2sin²x+1）=4cos²xsin²x+3=sin²2x+3，結(jié)合-1≤sin2x≤1可得0≤sin²2x≤1，代入可求
（2）利用cos²x=1-sin²x=（1-sinx）（1+sinx），代入化簡(jiǎn)可得 y=-2sin²x+2sinx=-2(sinx-

1

2

)2+

1

2

 結(jié)合-1＜sinx≤1，利用二次函數(shù)的知識(shí)可求．

解答：解：（1）∵y=（2cos²x+1）（2sin²x+1）=4cos²xsin²x+3=sin²2x+3
∵0≤sin²2x≤1  
函數(shù)的值域 {y|3≤y≤4}
（2）y=

2sinxcos2x

1+sinx

=

2sinx(1-sin2x)

1+sinx

=2sinx(1-sinx)（sinx≠-1）
=-2sin²x+2sinx=-2(sinx-

1

2

)2+

1

2

∵-1＜sinx≤1
故函數(shù)的值域{y|-4＜y≤

1

2

}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用同角的平方關(guān)系對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，，二次函數(shù)函數(shù)的值域的求解，但要注意（2）中定義域sin≠-1的隱含限制．