已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,其中a>0.
(1)求a的值;
(2)若對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求實數(shù)k的最小值.]
(1)a=1.(2)
解析試題分析:(1)f(x)的定義域為(-a,+∞).
f ′(x)=1-=.
由f ′(x)=0,得x=1-a>-a.
當x變化時,f ′(x),f(x)的變化情況如下表:
因此,f(x)在x=1-a處取得最小值,x (-a,1-a) 1-a (1-a,+∞) f ′(x) - 0 + f(x) ?? 極小值
故由題意f(1-a)=1-a=0,所以a=1.
(2)當k≤0時,取x=1,有f(1)=1-ln2>0,
故k≤0不合題意.
當k>0時,令g(x)=f(x)-kx2,
即g(x)=x-ln(x+1)-kx2.
g′(x)=-2kx=.
令g′ (x)=0,得x1=0,x2=>-1.
①當k≥時,≤0,g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在[0,+∞)上單調遞減.從而對于任意的x∈[0,+∞),總有g(x)≤g(0)=0,即f(x)≤kx2在[0,+∞)上恒成立.
故k≥符合題意.
②當0<k<時, >0,對于x∈(0,),g′(x)>0,故g(x)在(0,)內單調遞增.因此當取x0∈(0,)時,g(x0)>g(0)=0,即f(x0)≤kx不成立.
故0<k<不合題意.
綜上,k的最小值為.
考點:導數(shù)的運用
點評:主要是考查了運用導數(shù)求解函數(shù)單調性,以及函數(shù)最值的運用,屬于中檔題。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),,函數(shù)的圖像在點處的切線平行于軸.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的極小值;
(3)設斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點,()
證明:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(1)當且時,證明:對,;
(2)若,且存在單調遞減區(qū)間,求的取值范圍;
(3)數(shù)列,若存在常數(shù),,都有,則稱數(shù)列有上界。已知,試判斷數(shù)列是否有上界.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)的圖像過坐標原點,且在點處的切線的斜率是.
(1)求實數(shù)的值;
(2)求在區(qū)間上的最大值;
(3)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點,使得是以為
直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊的中點在軸上?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
函數(shù)的定義域為,且滿足對于定義域內任意的都有等式.
(1)求的值;
(2)判斷的奇偶性并證明;
(3)若,且在上是增函數(shù),解關于的不等式.
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