Question

19．P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△ACP，△BCP的面積分別記為S₁，S₂，已知$\overrightarrow{CP}=\frac{2λ}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{λ}{3}\overrightarrow{CB}$，其中λ∈（0，1），則$\frac{S_1}{S_2}$=（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{CD}=\frac{2λ}{3}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{λ}{3}\overrightarrow{CB}$，作出平行四邊形CEPD，則CD=$\frac{2λ}{3}AC$，CB=$\frac{λ}{3}BC$，根據(jù)S_△CDP=S_△CEP列出方程，整理可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的比值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{CD}=\frac{2λ}{3}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{λ}{3}\overrightarrow{CB}$，以CD，CE為鄰邊作平行四邊形CEPD，則CD=$\frac{2λ}{3}AC$，CB=$\frac{λ}{3}BC$，
∵S_△CDP=S_△CEP，∴$\frac{1}{2}CD•CP•sin∠DCP$=$\frac{1}{2}CE•CP•sin∠ECP$，∴$\frac{1}{2}•\frac{2λ}{3}•CA•CP•sin∠DCP$=$\frac{1}{2}•\frac{λ}{3}BC•CP•sin∠ECP$，
∵S₁=$\frac{1}{2}CA•CP•sin∠DCP$，S₂=$\frac{1}{2}CB•CP•sin∠ECP$，
∴$\frac{2λ}{3}{S}_{1}$=$\frac{λ}{3}{S}_{2}$，∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的線性運(yùn)算，三角形的面積公式，作出平行四邊形是解題關(guān)鍵．