Question

17．如圖，在△ABC中，AO⊥BC于O，OB=2OA=2OC=4，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為OA，OB，OC的中點(diǎn)，BD與AE相交于H，CD與AF相交于G，將△ABO沿OA折起，使二面角B-OA-C為直二面角．
（Ⅰ）在底面△BOC的邊BC上是否存在一點(diǎn)P，使得OP⊥GH，若存在，請(qǐng)計(jì)算BP的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）求二面角A-GH-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件便知H，G分別為△AOB，△AOC的重心，從而有GH∥EF∥BC，并可說明∠BOC為直角，過O作OP⊥BC，從而有OP⊥GH，而根據(jù)攝影定理便有$BP=\frac{O{B}^{2}}{BC}$，這樣即可求出BP的長(zhǎng)度；
（Ⅱ）根據(jù)上面知OB，OC，OA三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，從而可以根據(jù)條件求出圖形上一些點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以得到向量$\overrightarrow{HG}，\overrightarrow{HA}，\overrightarrow{HD}$的坐標(biāo)，可設(shè)平面AGH的法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，而根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HG}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HA}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{m}$，同樣的方法可以求出平面DGH的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$，根據(jù)cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出二面角A-GH-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）H，G分別為△AOB和△AOC的重心；
∴$\frac{AH}{HE}=\frac{AG}{GF}=\frac{2}{1}$；
連接EF，則GH∥EF；
由已知，EF∥BC，∴GH∥BC；
∵OA⊥OB，OA⊥OC，二面角B-OA-C為直二面角；
∴∠BOC為直角；
∴在Rt△BOC中，過O作BC的垂線，垂足為P，OP⊥BC，又BC∥GH；
∴OP⊥GH，則由攝影定理得：OB²=BP•BC；
∴$BP=\frac{O{B}^{2}}{BC}=\frac{16}{\sqrt{16+4}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）分別以O(shè)B，OC，OA為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：

O（0，0，0），A（0，0，2），D（0，0，1），B（4，0，0），C（0，2，0），H（$\frac{4}{3}，0，\frac{2}{3}$），$G（0，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$；
∴$\overrightarrow{HG}=（-\frac{4}{3}，\frac{2}{3}，0），\overrightarrow{HA}=（-\frac{4}{3}，0，\frac{4}{3}）$，$\overrightarrow{HD}=（-\frac{4}{3}，0，\frac{1}{3}）$；
設(shè)$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$為平面AGH的法向量，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HG}=-\frac{4}{3}{x}_{1}+\frac{2}{3}{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HA}=-\frac{4}{3}{x}_{1}+\frac{4}{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取x₁=1，則y₁=2，z₁=1，∴$\overrightarrow{m}=（1，2，1）$；
設(shè)$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$為平面DGH的法向量，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}=-\frac{4}{3}{x}_{2}+\frac{2}{3}{y}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HD}=-\frac{4}{3}{x}_{2}+\frac{1}{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$；
取x₂=1，則$\overrightarrow{n}=（1，2，4）$；
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{9}{\sqrt{6}×\sqrt{21}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}$；
∴由圖可知二面角A-GH-D為銳角，∴該二面角的余弦值為$\frac{3\sqrt{14}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形重心的概念及其性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形中位線的性質(zhì)，以及二面角的平面角的定義，直角三角形的攝影定理的內(nèi)容，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決二面角問題的方法，平面的法向量的概念及求法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量垂直的充要條件，以及向量夾角的余弦公式，清楚兩平面所成二面角的大小和兩平面的法向量夾角的關(guān)系．