Question

若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則

OP

•

FP

的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的方程算出橢圓的左焦點(diǎn)為F（-1，0），設(shè)P（x，y），求得

OP

、

FP

的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式建立

OP

•

FP

關(guān)于x、y的表達(dá)式，結(jié)合橢圓的方程化簡(jiǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可算出答案．

解答：解：橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，a²=4，b²=3，可得c=

a2-b2

=1．
∵點(diǎn)P為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的任意一點(diǎn)，
∴設(shè)P（x，y），則-2≤x≤2，
∵橢圓的左焦點(diǎn)為F（-1，0），∴

OP

=（x，y），

FP

=（x+1，y），
可得

OP

•

FP

=x（x+1）+y²=x²+x+3（1-

1

4

x²）
=

1

4

x²+x+3=（

1

2

x+1）²+2，
∵-2≤x≤2，得0≤

1

2

x+1≤2，
∴0≤（

1

2

x+1）²≤4，可得2≤（

1

2

x+1）²+2≤6．
即

OP

•

FP

的取值范圍為[2，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想與解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．