Question

14．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且$\frac{sinα}{α}$＜$\frac{sinβ}{β}$，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． α＜β
• B． α+β＞$\frac{π}{2}$
• C． α＞β
• D． α+β＜$\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由$\frac{sinα}{α}$＜$\frac{sinβ}{β}$，可得$\frac{αsinα}{{α}^{2}}＜\frac{βsinβ}{{β}^{2}}$，利用假設(shè)法，證明即可．設(shè)αsinα＞βsinβ，則α＞β，α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），可得$\frac{1}{{α}^{2}}＜\frac{1}{{β}^{2}}$，可得$\frac{αsinα}{{α}^{2}}＜\frac{βsinβ}{{β}^{2}}$成立．可得結(jié)論．

解答 解：由$\frac{sinα}{α}$＜$\frac{sinβ}{β}$，可得$\frac{αsinα}{{α}^{2}}＜\frac{βsinβ}{{β}^{2}}$，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），設(shè)αsinα＞βsinβ＞0，則α＞β，
∴$\frac{1}{{α}^{2}}＜\frac{1}{{β}^{2}}$，
∴$\frac{αsinα}{{α}^{2}}＜\frac{βsinβ}{{β}^{2}}$成立．
故得α＞β，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦余弦函數(shù)的性質(zhì)的變形運(yùn)用能力和化簡(jiǎn)計(jì)算能力．