Question

9．數(shù)列{a_n}的首項為a₁=1，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，若b₁₀b₁₁=2016${\;}^{\frac{1}{10}}$，則a₂₁=2016．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，得到a₂₁=b₁b₂…b₂₀，結(jié)合b₁₀b₁₁=2016${\;}^{\frac{1}{10}}$，及等比數(shù)列的性質(zhì)求得a₂₁ ．

解答 解：由b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，且a₁=1，得b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}={a}_{2}$．
b₂=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，a₃=a₂b₂=b₁b₂．
b₃=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$，a₄=a₃b₃=b₁b₂b₃．
…
a_n=b₁b₂…b_n-1．
∴a₂₁=b₁b₂…b₂₀．
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴${a}_{21}=（_{1}_{20}）（_{2}_{19}）…（_{10}_{11}）=（_{10}_{11}）^{10}$=$（201{6}^{\frac{1}{10}}）^{10}=2016$．
故答案為：2016．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．