Question

若（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求展開式中所有的有理項(xiàng)；
（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)及系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，

n

2

，

n(n-1)

8

，成等差數(shù)列可得n的值，再寫出通項(xiàng)，即可得出展開式中的有理項(xiàng)；
（2）運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求解展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．設(shè)第k項(xiàng)的系數(shù)最大，列出不等式組，解得k的范圍，再結(jié)合通項(xiàng)公式以及k為整數(shù)，求得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答： （1）解：由于T_r+1=

C

r n

•(

x

)n-r(

1

2 4 x

)r=

C

r n

(

1

2

)rx

2n-3r

4

，
則展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，

n

2

，

n(n-1)

8

，
則有2×

n

2

=1+

n(n-1)

8

，解得n=8（1舍去）．
則T_r+1=

C

r 8

(

1

2

)rx

16-3r

4

，
則有r=0，4，8時，為有理項(xiàng)，且為x⁴，

C

4 8

•(

1

2

)4x=

35

8

x，

1

256

x^-2．
（2）解：而n=8展開式共有9項(xiàng)，
中間一項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，即為T₅=

35

8

x，
設(shè)第k項(xiàng)的系數(shù)最大，
則有

C k-1 8 ( 1 2 )k-1 ≥C k 8 ( 1 2 )k C k-1 8 ( 1 2 )k-1 ≥C k-2 8 ( 1 2 )k-2

，解得 3≤k≤4，
故系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)T₃=7x

5

2

 和 第四項(xiàng)T₄=7x

7

4

．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用及等差數(shù)列的性質(zhì)，考查組合數(shù)的計(jì)算公式，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式．