Question

15．已知$\overrightarrow m=（{2cosx+2\sqrt{3}sinx，1}），\overrightarrow n=（{cosx，-y}）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$．將y表示為x的函數(shù)，若記此函數(shù)為f（x），
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在x∈[0，π]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的垂直關(guān)系求出f（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（2）求出g（x）的解析式，根據(jù)自變量的范圍，以及三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$得$\overrightarrow m•\overrightarrow n=2co{s^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-y=0$，．…（1分）
所以$y=2co{s^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$．…（2分）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈z，…（3分）
即函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈z…．…（4分）
（2）由題意知g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1…．…（7分）
因為x∈[0，π]，∴x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，…（8分）
故當(dāng)x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，g（x）有最大值為3；…（10分）
當(dāng)$x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$時，g（x）有最小值為0．…（11分）
故函數(shù)g（x）在x∈[0，π]上的最大值為3，最小值為0．…．…（12分）

點評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．