Question

已知邊長為6的正方形ABCD所在平面外一點P，PD⊥平面ABCD，PD=8，
（1）連接PB、AC，證明PB⊥AC；
（2）求PB與平面ABCD所成的角的大小；
（3）求點D到平面PAC的距離．

Answer 1

分析：（1）由幾何體的結(jié)構(gòu)可知證明PB⊥AC的問題可轉(zhuǎn)化為證明AC⊥面PDB來證，而此線面垂直易證．
（2）由題意，知PB與平面ABCD所成的角是∠PBD，△PDB是一個直角三角形，∠PBD的正切值可求．
（3）點D到平面PAC的距離即棱錐D-PAC的高，而其體積易求，問題可以轉(zhuǎn)化為等體積法來求，

解答：（1）證明：連接BD，交AC于O，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以，PD⊥AC，（2分）
所以AC⊥平面PBD，故PB⊥AC．（4分）
（2）解：因為PD⊥平面ABCD，則∠PBD就是PB與平面ABCD所成的角，（6分）
在DP、BD中，PD=8，BD=6

2

所以tan∠PBD=

2 2

3

∠PBD=arctan

2 2

3

（8分）
PB與平面ABCD所成的角的大小為arctan

2 2

3

（9分）
（3）解：連接PC，設(shè)點D到平面PAC的距離為h，（10分）
則有V_D-PAC=V_P-ACD，即：

1

3

s_△PAC×h=

1

6

×PD×AD×DC=36（12分）
在△PAC中，連接PO，顯然PO⊥AC，PO=

82

，又AC=6

2

 故s_△PAC=

1

2

×6

2

×

82

=6

41

 故

1

3

×6

41

×h=36
h=

18 41

41

所以點D到平面PAC的距離為

18 41

41

（14分）

點評：本題考點是點、線、面間的距離計算，考查用線面垂直證明線線垂直，二面角的求法以及點到面的距離計算技巧-等體積法，本題涉及到的技巧較多，考查全面綜合性強(qiáng)．