Question

【題目】定義在上的函數(shù)滿足，且.當(dāng)時(shí)， .

（1）求在上的解析式；

（2）證明在上是減函數(shù)；

（3）當(dāng)取何值時(shí)，方程在上有解.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3），或，或.

【解析】試題分析：（1）設(shè)，則結(jié)合f（-x）=-f（x），及x∈（0，1）時(shí)， ，，可求x∈（-1，0）時(shí)得f（x），在f（-x）=-f（x）中可求f（0）=0
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．
（3）方程在上有解的充要條件是， 在函數(shù)， 的值域內(nèi)取值，只需求出函數(shù)的值域，然后求解k的范圍．

試題解析：

（1）設(shè)，則.

∵，且時(shí)， ，

∴時(shí)，有.

在中，令得

.

∵， ，令，

得，

∴，從而，

∴當(dāng)時(shí)，有

.

（2）設(shè)，則，

.

∵，∴，

∴，且，

∴， .

又∵，

∴，

即，∴在上是減函數(shù).

（3）方程在上有解的充要條件是， 在函數(shù)， 的值域內(nèi)取值.

∵時(shí)， 是減函數(shù)，

∴時(shí)， ，

即.

∵，∴時(shí)，

.

又，

∴時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>.

∴當(dāng)，或，或時(shí)，方程在上有解.