Question

【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎(jiǎng)勵(lì)，超過55單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)12元．

（Ⅰ）請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖，其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在（，]（n＝1，2，3，4，5）時(shí)，日平均派送量為50＋2n單．若將頻率視為概率，回答下列問題：

①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為X（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；

②結(jié)合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由。

（參考數(shù)據(jù)：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

【答案】（Ⅰ）甲方案的函數(shù)關(guān)系式為： ，乙方案的函數(shù)關(guān)系式為：；（Ⅱ）①見解析，②見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為： ， 乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：.

（Ⅱ）①由題意求得X的分布列，據(jù)此計(jì)算可得，，.

②答案一：由以上的計(jì)算可知，遠(yuǎn)小于，即甲方案日工資收入波動(dòng)相對(duì)較小，所以小明應(yīng)選擇甲方案.

答案二：由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，，所以小明應(yīng)選擇乙方案.

（Ⅰ）甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為： ，

乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：

（Ⅱ）①由已知，在這100天中，該公司派送員日平均派送單數(shù)滿足如下表格：

單數(shù)	52	54	56	58	60
頻率	0.2	0.3	0.2	0.2	0.1

所以的分布列為：

	152	154	156	158	160
	0.2	0.3	0.2	0.2	0.1

所以

所以的分布列為：

	140	152	176	200
	0.5	0.2	0.2	0.1

所以

②答案一：由以上的計(jì)算可知，雖然，但兩者相差不大，且遠(yuǎn)小于，即甲方案日工資收入波動(dòng)相對(duì)較小，所以小明應(yīng)選擇甲方案.

答案二：由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，，即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望，所以小明應(yīng)選擇乙方案.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查頻率分布直方圖，數(shù)學(xué)期望與方差的含義與實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，M為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)∠F1MF2＝90°時(shí)，△F1MF2的面積為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)A是橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn)，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點(diǎn)B，D，設(shè)直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意可求得，則，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)，，

當(dāng)直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時(shí)，.

當(dāng)直線、的斜率存在時(shí)，,設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得直線的斜率為，直線的斜率為，則.綜上可得：直線與的斜率之積為定值.

（Ⅰ）設(shè)由題，

解得，則，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

設(shè)，則，直線的方程為代入，

可得 ，，則,

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理可得.

當(dāng)直線、的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

則由消去可得：，

又，則，代入上述方程可得:

，，

則 ，

設(shè)直線的方程為，同理可得 ，

直線的斜率為

直線的斜率為， .

所以，直線與的斜率之積為定值，即.