Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax，a＞0．
（1）記f（x）的極小值為g（a），求g（a）的最大值；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域是（﹣∞，+∞），f'（x）=ex﹣a，

令f'（x）＞0，得x＞lna，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lna，+∞）；

令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，lna），

函數(shù)f（x）在x=lna處取極小值，

g'（a）=1﹣（1+lna）=﹣lna，

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞1時(shí)，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以a=1是函數(shù)g（a）在（0，+∞）上唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，

所以g（a）max=g（1）=1

（2）解：當(dāng)x≤0時(shí)，a＞0，ex﹣ax≥0恒成立，

當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥0，即ex﹣ax≥0，即

令 ，

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0，

故h（x）的最小值為h（1）=e，

所以a≤e，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，e]

f（a）=ea﹣e2，a∈（0，e]，f'（a）=ea﹣2a，由上面可知ea﹣2a≥0恒成立，

故f（a）在（0，e]上單調(diào)遞增，所以f（0）=1＜f（a）≤f（e）=ee﹣e2，

即f（a）的取值范圍是（1，ee﹣e2]

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值g（a）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（a）的最大值即可；（2）通過(guò)討論x的范圍，問題轉(zhuǎn)化為 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（a）的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．