已知過(guò)點(diǎn)A（0，1），且方向向量為數(shù)學(xué)公式的直線l與⊙C：（x-2）2+（y-3）2=1，相交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）求證：數(shù)學(xué)公式=定值；
（3）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且數(shù)學(xué)公式=12，求k的值．

解：（1）∵直線l過(guò)點(diǎn)（0，1）且方向向量，∴直線l的方程為y=kx+1（2分）
由，得 （4分）

（2）設(shè)⊙C的一條切線為AT，T為切點(diǎn)，則由弦長(zhǎng)公式可得 AT2 =7，
∴，∴為定值．（8分）
（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），將y=kx+1代入方程 （x-2）2+（y-3）2=1 得
（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0，（10分）
∴．
∴，
∴，解得k=1，又當(dāng)k=1時(shí)，△＞0，∴k=1（13分）
分析：（1）用點(diǎn)斜式寫出直線l的方程，由圓心到直線的距離小于圓的半徑列出不等式，解出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）由弦長(zhǎng)公式可得 AT2 =7，又 AT2 =AM•AN， 與 共線且方向相同，化簡(jiǎn)•．
（3）設(shè)出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線l的方程代入圓的方程化為關(guān)于x的一元二次方程，把根與系數(shù)的
關(guān)系代入•=12 的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，解方程求出k的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知過(guò)點(diǎn)A（0，1），且方向向量為
a
=(1，k)的直線l與⊙C：（x-2）2+（y-3）2=1，相交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）求證：
AM
•
AN
=定值；
（3）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且
OM
•
ON
=12，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知過(guò)點(diǎn)A（0，1）斜率為k的直線l與圓（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N兩點(diǎn)．
①求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
②求線段MN的中點(diǎn)軌跡方程；
③求證：
AM
•
AN
為定值；
④若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且
OM
•
ON
=12，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線l，斜率為k，與圓C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M、N兩個(gè)不同點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k取值范圍；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且
OM
•
ON
=12，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線l與拋物線C：y=x2交于M，N兩點(diǎn)，又拋物線C在M，N兩點(diǎn)處的兩切線交于點(diǎn)B，M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2．
（1）求x1x2的值；
（2）求B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知過(guò)點(diǎn)A（0，1），B（4，a）且與x軸相切的圓只有一個(gè)，求a的值及所對(duì)應(yīng)的圓的方程．

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