Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且PA=PB=PC=PD，MB=2AM，CN=2PN
（1）求證：MN∥面PAD
（2）求證：BD⊥PC．

Answer 1

分析 （1）作NQ∥CD，交PD于Q，連接AQ，證明：四邊形AMNQ為平行四邊形，可得MN∥AQ，即可證明MN∥面PAD；
（2）連接AC，與BD交于H，連接PH，證明：BD⊥平面PAC，即可證明BD⊥PC．

解答 證明：（1）作NQ∥CD，交PD于Q，連接AQ，
∵CN=2PN，∴NQ=$\frac{1}{3}$CD，
∵AM=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}CD$，AB∥CD，
∴AM∥NQ，AM=NQ，
∴四邊形AMNQ為平行四邊形，
∴MN∥AQ，
∵MN?平面PAD，QA?平面PAD，
∴MN∥面PAD
（2）連接AC，與BD交于H，

∵ABCD為正方形，
∴H為AC，BD的中點，AC⊥BD，
連接PH，
∵PB=PD，
∴PH⊥BD，
∵AC⊥BD，AC∩PH=H，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．

點評 本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．