Question

【題目】已知點(diǎn)A（0，﹣2），橢圓E： + =1（a＞0，b＞0）的離心率為 ，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為 ，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)F（c，0），由條件知 ，得 ，又 ，

∴a=2，b2=a2﹣c2=1，

故E的方程為：

（2）解：當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不合題意，

故設(shè)l：y=kx﹣2，p（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．

當(dāng)△=16（4k2﹣3）＞0，即 時(shí)，

， ．

從而 ．

又點(diǎn)O到直線PQ的距離 ．

∴△OPQ的面積為 ，

設(shè) ，

則 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即t=2時(shí)取“=”．

∴ ，即 時(shí)等號(hào)成立，且滿足△＞0，

∴當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為 或

【解析】（1）設(shè)F（c，0），由已知得 ，求得c，再由離心率求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）由題意可知，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不合題意，設(shè)l：y=kx﹣2，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求出P、Q的橫坐標(biāo)，代入弦長(zhǎng)公式求得|PQ|，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得O到PQ的距離，代入三角形面積公式，換元后利用基本不等式求最值，同時(shí)求得當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)直線l的方程．