Question

【題目】已知圓C的半徑為1，圓心C（a，2a﹣4），（其中a＞0），點(diǎn)O（0，0），A（0，3）
（1）若圓C關(guān)于直線x﹣y﹣3=0對稱，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)P，使|PA|=|2PO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設(shè)知，圓心C（a，2a﹣4）在直x﹣y﹣3=0上，解得點(diǎn)C（1，﹣2）

所以 圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=1

①若切線的斜率不存在，則切線方程x=0，符合題意

②若切線斜率存在，設(shè)切線的方程為y﹣3=k（x﹣0），即kx﹣y+3=0．

由題意知，圓心C（1，﹣2）到切線kx﹣y+3=0的距離等于半徑1，

即： 解之得 ，所以切線方程為12x+5y﹣15=0

綜上所述，所求切線的方程是x=0或 12x+5y﹣15=0

（2）解：∵圓心C（a，2a﹣4），半徑為1，所以圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣2a+4）2=1．

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），因?yàn)閨PA|=2|PO|∴

化簡得 ，又因?yàn)?

所以點(diǎn)P既在以D（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓上．

又在圓C上，即圓C與圓D有公共點(diǎn)P

則1≤CD≤3即

∴

由5a2﹣12a≤0，且a＞0得

由5a2﹣12a+8≥0，得a∈R；

所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為

【解析】（1）先求出圓心坐標(biāo)，可得圓的方程，再設(shè)出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得切線方程；（2）設(shè)出點(diǎn)C，P的坐標(biāo)，利用|PA|=|2PO|，尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．