Question

一次研究性課堂上，老師給出了函數(shù)，三位同學甲、乙、丙在研究此函數(shù)時分別給出命題：
①函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），則對任意n∈N*恒成立．
你認為上述三個命題中正確的個數(shù)是

1. A.
   0個
2. B.
   1個
3. C.
   2個
4. D.
   3個

Answer 1

D
分析：由已知中函數(shù)的解析式，我們可以判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，進而分類討論后求出函數(shù)f（x）的值域，進而可以判斷出①的真假；判斷出函數(shù)的單調性，根據函數(shù)單調性的性質，可以判斷②的真假；利用數(shù)學歸納法證明對任意n∈N*是否恒成立，可以判斷③的真假，進而得到答案．
解答：∵f（-x）-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)
∵

∵f（x）為奇函數(shù)，
∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）
總之，f（x）∈（-1，1）
故甲對
當為增函數(shù)，
∵f（x）為奇函數(shù)
∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）為增函數(shù)
所以f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)
故當x₁≠x₂時，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
故乙對
若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），
則當n=1時，，滿足
設n=k時，滿足
當n=k+1時，f_K+1（x）=f（f_K（x））==
即對任意n∈N*恒成立
故丙對
故選D
點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數(shù)恒成立問題，數(shù)學歸納法，函數(shù)奇偶性，函數(shù)的單調性，函數(shù)的值域，是函數(shù)問題比較綜合的應用，其中判斷出函數(shù)的奇偶性，進而簡化判斷是解答本題的關鍵．