Question

7．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，5a₄+4a₅=-22，S₆=2a₄-5
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}={2^{{a_n}-2}}-n$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式及其前n項和公式列出方程，解出a₁，d，解出即可得出．
（2）${b_n}={2^{{a_n}-2}}-n$=$（\frac{1}{2}）^{n}$-n，再利用等差數列與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵5a₄+4a₅=-22，S₆=2a₄-5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5（{a}_{1}+3d）+4（{a}_{1}+4d）=-22}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=2（{a}_{1}+3d）-5}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=-1．
∴a_n=1-（n-1）=2-n．
（2）${b_n}={2^{{a_n}-2}}-n$=$（\frac{1}{2}）^{n}$-n，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．