設(shè)函數(shù)。

（Ⅰ）若在定義域內(nèi)存在，而使得不等式能成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。

求導(dǎo)得：，        

∵函數(shù)得定義域?yàn)?sub>，

當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上是增函數(shù)。

∴，                     

∴。故實(shí)數(shù)的最小值為。                   

(Ⅱ)由得：

原題設(shè)即方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)相異實(shí)根。 

   設(shè)�！�，列表如下：

－

0

＋

減函數(shù)

增函數(shù)

∵，∴。

從而有，                    

畫出函數(shù)在區(qū)間上的草圖（見下）            

易知要使方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，

只需：，

即：。  

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=px-
p
x
-2lnx．
（Ⅰ）若p=2，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g(x)=
2e
x
，若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a(x-
1
x
)-lnx．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=
e
x
，若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）≥g（x0）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省高三第一次階段考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)。

 （1）若在處取得極值，求的值；

 （2）若在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，

求證：① 在其定義域內(nèi)恒成立；

求證：② 。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=a(x-
1
x
)-lnx．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=
e
x
，若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）≥g（x0）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：桂林模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=px-
p
x
-2lnx．
（I）若p=2，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g(x)=
2e
x
，若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

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