Question

（本小題滿(mǎn)分14分）設(shè)函數(shù)。

 （1）若在處取得極值，求的值；

 （2）若在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，

求證：① 在其定義域內(nèi)恒成立；

求證：② 。

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2）。經(jīng)檢驗(yàn)適合。（3）見(jiàn)解析。

【解析】本題以函數(shù)為載體．主要考查了了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明，屬于中檔題

（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)若x= 時(shí)，f（x）取得極值得f′（ ）=0，解之即可；

（2）f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)可轉(zhuǎn)化成只需在（0，+∞）內(nèi)有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等關(guān)系，解之即可；

(3) ，當(dāng)時(shí)，，，

∴ 在處取得極大值，也是最大值, ，∴，∴放縮法得到結(jié)論。

解：（1），…………………………1分

∵在處取得極值，∴，即。經(jīng)檢驗(yàn)適合�！�………3分

（2）在定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916382823823601/SYS201211191640256601157482_DA.files/image019.png">，…………………………4分

要在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則在上恒成立。

∴，………………………5分

而，∴。經(jīng)檢驗(yàn)適合�！�………………………6分

（3）①，當(dāng)時(shí)，，，

∴…………………………7分

在處取得極大值，也是最大值。

而，∴，在上恒成立，

因此，∴�！�……………………9分

②，∴，∴………………………10分

∴ 

 …………………………11分

…………………………12分

=

= = ………………………14分