Question

設a_n是等差數(shù)列，b_n是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃+b₂=7．
（1）求a_n，b_n的通項公式；
（2）記c_n=a_n-2010，n∈N*，A_n為數(shù)列c_n的前n項和，當n為多少時A_n取得最大值或最小值？
（3）求數(shù)列{

an

bn

}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）先設公差是d，公比是q，根據(jù)a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃+b₂=7，列出關于d、q的方程組，解出d、q即可求出求a_n，b_n的通項公式；
（2）當c_n≥0，求出n≥1005.5，當c_n＞0，n≥1006，進而可知當n=1005時，A_n取得最小值；
（3）先寫出通項公式，然后求出2S_n-S_n，即可求出S_n．

解答：解：（1）設a_n的公差為d，b_n的公比為q，則依題意有q＞0且

1+d+q2=7 1+2d+q=7

解得d=2，q=2．（2分）
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．（4分）
（2）因為c_n=a_n-2010=2n-2011≥0?n≥1005.5，
所以，當1≤n≤1005時，c_n＜0，當n≥1006時，c_n＞0．（6分）
所以當n=1005時，A_n取得最小值．（7分）
（3）

an

bn

=

2n-1

2n-1

．Sn=1+

3

21

+

5

22

++

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

①（9分）2Sn=2+3+

5

2

++

2n-3

2n-3

+

2n-1

2n-2

②
②-①得Sn=2+2+

2

2

+

2

22

++

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

=2+2×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

．（12分）

點評：本題主要考查了數(shù)列通項公式和前n項和的求法以及數(shù)列的最值問題，對于等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘形式數(shù)列，一般采取錯位相減的辦法求數(shù)列的前n項和，一定要熟練掌握．