Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+2x-a，若方程f（f（x））=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 分函數(shù)f（x）=0無解，有一解，有兩解三種情況，分別討論滿足方程f（f（x））=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解時(shí)，a的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：①若函數(shù)f（x）=x²+2x-a=0無解，
則方程f（f（x））=0也無解；
②若函數(shù)f（x）=x²+2x-a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，
則△=4+4a=0，
解得：a=-1，
f（x）=x²+2x+1≥0恒成立，
∵f（f（x））=0，
∴f（x）=-1，方程無解；
③若函數(shù)f（x）=x²+2x-a=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，
則△=4+4a＞0，
解得：a＞-1，
f（x）=x²+2x-a≥-a-1恒成立，
此時(shí)f（x）=0有兩根分別為：$-1+\sqrt{a+1}$，$-1-\sqrt{a+1}$
若方程f（f（x））=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，
則$-1-\sqrt{a+1}$＜-a-1，且$-1+\sqrt{a+1}$＞-a-1，
解得：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，分類討論思想，難度中檔．