Question

16．已知函數(shù)f（x）=a（tan x+l）-e^x．
（Ⅰ）若f（x）在x=0處的切線經(jīng)過點（2，3），求a的值；
（Ⅱ）x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩點的斜率公式解方程可得a；
（Ⅱ）由x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）≥0，得a≥$\frac{{e}^{x}}{tanx+1}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{tanx+1}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最大值，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=a（tanx+l）-e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{co{s}^{2}x}$-e^x，
可得f′（0）=a-1，
又f（0）=a-1，
所以a-1=$\frac{a-4}{0-2}$，解得a=2．
（Ⅱ）由x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，
f（x）≥0，得a≥$\frac{{e}^{x}}{tanx+1}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{tanx+1}$，
則g′（x）=$\frac{{e}^{x}•（1+tanx）-{e}^{x}•se{c}^{2}x}{（1+tanx）^{2}}$
=$\frac{{e}^{x}•tanx（1-tanx）}{（1+tanx）^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{4}$），g′（x）＞0；
x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），g′（x）＜0，
所以g （x）的最大值為g（$\frac{π}{4}$）=$\frac{{e}^{\frac{π}{4}}}{2}$，
故所求a的取值范圍是a≥$\frac{{e}^{\frac{π}{4}}}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．