Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，并且對任意的實數(shù)x，y都滿足f（x+y）=f（x）•f（y）．當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，f（1）=2．
（1）求f（0）和f（3）的值；
（2）證明f（x）是增函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令y=0，代入求得f（0）=1，利用迭代求f（3）；
（2）由題意可推出f（x）＞0，由定義法可證明f（x）是增函數(shù)．

解答： 解：（1）由題意，令y=0，則
f（x）=f（x）f（0），
∵f（x）不恒等于0，
故f（0）=1；
f（3）=f（2）f（1）
=2f（2）=2f（1）f（1）=8；
（2）證明：任取x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+x₂-x₁）
=f（x₁）-f（x₁）f（x₂-x₁）
=f（x₁）（1-f（x₂-x₁））
又∵f（0）=f（-x）f（x）=1，當(dāng)x＞0時，f（x）＞1；
∴f（x₁）＞0，f（x₂-x₁）＞1；
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）是R上的增函數(shù)．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明，屬于中檔題．