Question

8．（1）已知平面向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$，|$\overrightarrow{α}$|=1，$\overrightarrow{β}$=（2，0），$\overrightarrow{α}$⊥（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$），求|2$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|的值；
（2）已知三個向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$兩兩所夾的角都為120°，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，求向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$與向量$\overrightarrow{a}$的夾角．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{α}$⊥（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$）結合已知求得$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}$，然后求出$|2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}{|}^{2}$，則|2$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|的值可求；
（2）由已知分別求出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）•\overrightarrow{a}$及$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|$，代入數(shù)量積求夾角公式求解．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{α}$|=1，$\overrightarrow{β}$=（2，0），
由$\overrightarrow{α}$⊥（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$），得$\overrightarrow{α}•（\overrightarrow{α}-2\overrightarrow{β}）=|\overrightarrow{α}{|}^{2}-2\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}=0$，
∴$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}=\frac{1}{2}$，
而$|2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}{|}^{2}=4|\overrightarrow{α}{|}^{2}+4\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}+|\overrightarrow{β}{|}^{2}$=$4+4×\frac{1}{2}+4=10$，
∴|2$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|=$\sqrt{10}$；
（2）$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）•\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$=$1+|\overrightarrow||\overrightarrow{a}|cos120°+|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|cos120°$
=$1+2×1×（-\frac{1}{2}）+3×1×（-\frac{1}{2}）=-\frac{3}{2}$；
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）^{2}}$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}+|\overrightarrow{c}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$
$═\sqrt{1+4+9+2×1×2×（-\frac{1}{2}）+2×1×3×（-\frac{1}{2}）+2×2×3×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$．
設向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$與向量$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵θ∈[0，π]，
∴$θ=\frac{5π}{6}$．
即向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$與向量$\overrightarrow{a}$的夾角為$\frac{5π}{6}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了利用數(shù)量積求向量的夾角，考查運算能力，是中檔題．