Question

11．在平面直角坐標系xOy中，設(shè)A，B是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上的兩點，O為原點，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．
證明：$\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OA}}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OB}}|}^2}}}$為定值．

Answer 1

分析 設(shè)AB所在的直線方程為：y=kx+m，代入橢圓方程得（a²k²+b²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，由此利用韋達定理、點到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能證明$\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OA}}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OB}}|}^2}}}$為定值．

解答 證明：設(shè)A點坐標為（x₁，y₁），B坐標為（x₂，y₂）
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
設(shè)AB所在的直線方程為：y=kx+m，代入橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
整理得：（a²k²+b²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0
因為點A、B在橢圓上
由韋達定理可得：
x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}km}{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
由x₁x₂+y₁y₂=0，得
x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
即（k²+1）•$\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}$-km•$\frac{2{a}^{2}km}{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}$+m²=0
化簡得：（a²+b²）m²=a²•b²（1+k²），
即$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}•^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
即點O到直線AB的距離d²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}•^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$為定值，
直角△AOB中，OA²+OB²=AB²，S_△AOB=$\frac{1}{2}$（OA×OB）=$\frac{1}{2}$（AB×d），
∴$\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OA}}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OB}}|}^2}}}$=$\frac{{{|\overrightarrow{OA}|}^{2}+|\overrightarrow{OB}|}^{2}}{{|\overrightarrow{OA}|}^{2}•{|\overrightarrow{OB}|}^{2}}$=$\frac{|AB{|}^{2}}{（\right|AB|×d）^{2}}$=$\frac{1}{5n54mzt^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}•^{2}}$，
∴$\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OA}}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OB}}|}^2}}}$為定值．

點評 本題考查$\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OA}}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{\overrightarrow{OB}}|}^2}}}$為定值的證明，解題時要認真審題，注意橢圓定義、韋達定理、點到直線的距離公式的合理運用