Question

設(shè)，．

（1）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，恒有．

 

Answer 1

(1) 在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù), 在處取得極小值 ;(2)詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間及極值即可．

（2）欲證x＞ln2x-2a ln x+1，即證x-1-ln2x+2alnx＞0，也就是要證f（x）＞f（1），根據(jù)第一問(wèn)的單調(diào)性即可證得.

試題解析：解（1）【解析】
根據(jù)求導(dǎo)法則有，

故， 3分

于是，

列表如下：

		2
		0
	遞減	極小值	遞增

故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值． 6

（2）證明：由知，的極小值．

于是由上表知，對(duì)一切，恒有．

從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．

所以當(dāng)時(shí)，，即．

故當(dāng)時(shí)，恒有． .12

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)恒成立問(wèn)題；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.