Question

已知f(x)=

(x-2)2

x

+m-6為定義域上的奇函數(shù)（其中m為常數(shù)），
（Ⅰ）試求出實數(shù)m的值和f（x）解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=2a^x-22（其中a＞0，a≠1）在[-2，2]上的最大值為m，試求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（I）由奇函數(shù)的定義知f（-x）+f（x）=0恒成立，將函數(shù)的解析式代入此方程，得到參數(shù)m的方程，求出m的值，即得函數(shù)的解析式．
（II）本題中所給的函數(shù)g（x）=2a^x-22（其中a＞0，a≠1）單調(diào)性不定，故要按底數(shù)的取值范圍進行分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)性，然后確定函數(shù)的最值在何處取到，利用函數(shù)解析式建立實數(shù)a的值，求值．

解答：解：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}，
且f(x)=

x2-4x+4

x

+m-6=x+

4

x

+m-10
對任意x∈{x∈R|x≠0}，由奇函數(shù)性質(zhì)，有f（-x）+f（x）=0恒成立
所以，(-x+

4

-x

+m-10)+x+

4

x

+m-10=0即2m-20=0恒成立，
∴m=10，f(x)=x+

4

x

（Ⅱ）函數(shù)g（x）=2a^x-22（其中a＞0，a≠1）在[-2，2]上的最大值為10，
當a＞1時，a^x為R上單調(diào)遞增函數(shù)，g（x）=2a^x-22在[-2，2]上單調(diào)遞增，g（x）_最大=g（2）=10
即：2a²-22=10，即a²=16，從而，a=4
當0＜a＜1時，a^x為R上單調(diào)遞減函數(shù)，g（x）=2a^x-22在[-2，2]上單調(diào)遞減，g（x）_最大=g（-2）=10
即：2a^-2-22=10，即a^-2=16，從而，a=

1

4

綜上，實數(shù)a的值為4或

1

4

．

點評：本題考點是函數(shù)的最值及其幾何意義，考查利用函數(shù)的奇偶性建立方程求參數(shù)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)最值的取到到位置利用最值建立方程求參數(shù)，由此題的求解過程可以得到，函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的最值都是一個等量關系，解題時要注意這些等量關系的使用．