已知f(x)=x+
bx
-3， x∈[1，2]
（1） b=2時，求f（x）的值域；
（2） b≥2時，f（x）的最大值為M，最小值為m，且滿足：M-m≥4，求b的取值范圍．
分析：（1）先求出f（x），然后根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，2]上的單調性求出f（x）的最小值，將端點代入比較求出函數(shù)的最大值，從而求出函數(shù)f（x）的值域；
（2）分類討論：①當2≤b＜4時，②b≥4時，研究函數(shù)f（x）在[1，2]上單調上的單調性求出f（x）的最大值為M，最小值為m，最后根據(jù)M-m≥4，求出b的取值范圍．
解答：解：（1）當b=2時，f(x)=x+
2
x
-3，x∈[1，2]．
因為f（x）在[1，
2
]上單調遞減，在[
2
，2]上單調遞增，（2分）
所以f（x）的最小值為f(
2
)=2
2
-3．（4分）
又因為f（1）=f（2）=0，（5分）
所以f（x）的值域為[2
2
-3，0]．（6分）
（2）（�。┊�2≤b＜4時，因為f（x）在[1，
b
]上單調遞減，在[
b
，2]上單調遞增．
所以M=max{f(1)，f(2)}=b-2， m=f(
b
)=2
b
-3．M-m=b-2
b
+1≥4，得(
b
-1)2≥4．
即b≥9，與2≤b＜4矛盾．（11分）
（ⅱ）b≥4時，f（x）在[1，2]上單調遞減．
M=b-2，m=
b
2
-1，M-m=
b
2
-1≥4，即b≥10．（16分）
點評：本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，以及利用單調性求函數(shù)的值域，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=x+
bx
-3，x∈[1，2]
（1）b=2時，求f（x）的值域；
（2）b≥2時，f（x）＞0恒成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①已知f(x)+2f(
1
x
)=3x，則函數(shù)g（x）=f（2x）在（0，1）上有唯一零點；
②對于函數(shù)f(x)=x
1
2
的定義域中任意的x1、x2（x1≠x2）必有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
③已知f（x）=|2-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，對任意x、y∈R滿足關系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0時f（x）•g（x）≠0．則函數(shù)f（x）、g（x）都是奇函數(shù)．
其中正確命題的序號是
①③
①③
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-alnx，x∈（1，2），
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若f（x）在（1，2）為增函數(shù)，g(x)=x-a
x
在（0，1）上為減函數(shù)．
求證：方程f（x）=g（x）+2在（0，+∞）內有唯一解；
（3）當b＞-1時，若f(x)≥2bx-
1
x2
在x∈（0，1）內恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=sin(x+
π
2
)，g(x)=cos(x-
π
2
)，則下列結論中正確的是（　�。�

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