Question

已知三棱錐P-ABC中PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，
（1）求該三棱錐的外接球體積；
（2）求內(nèi)切球的體積．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）求出△ABC的外接圓的半徑，利用勾股定理，可得三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球體積；
（2）利用等體積，求出內(nèi)切球的半徑，即可求內(nèi)切球的體積．

解答： 解：（1）設△ABC的外接圓的半徑為r，則
∵∠BAC=120°，AB=AC=2，∴BC=

4+4-2×2×2×(- 1 2 )

=2

3

由正弦定理可得2r=

2 3

sin120°

=4，
設三棱錐的外接球的半徑為R，則（2R）²=16+4，
∴R=

5

，
∴該三棱錐的外接球體積為

4

3

π•(

5

)3=

20 5

3

π；
（2）設內(nèi)切球的半徑為m，則
∵S_側=2×

1

2

×2×2+

1

2

×2×2×

3

2

+

1

2

×2

3

×

8-3

=4+

3

+

15

，
∴由等體積可得

1

3

×

1

2

×2×2×

3

2

×2=

1

3

（4+

3

+

15

）m，
∴m=

3

4+ 3 + 15

∴體積為

4

3

π•（

3

4+ 3 + 15

）³．

點評：本題考查球的體積和表面積，考查學生的計算能力，確定半徑是關鍵．