Question

8．已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx-2ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（$x_1^{\;}＜{x_2}$）（　�。�

• A． f（x₁）＜0，$f（{x_2}）＞-\frac{1}{2}$
• B． f（x₁）＜0，$f（{x_2}）＜\frac{1}{2}$
• C． f（x₁）＞0，$f（{x_2}）＜-\frac{1}{2}$
• D． f（x₁）＞0，$f（{x_2}）＞\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先求出f′（x），令f′（x）=0，由題意可得lnx=4ax-1有兩個(gè)解x₁，x₂?函數(shù)g（x）=lnx+1-4ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得出．

解答 解：∵f′（x）=lnx+1-4ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由題意可得lnx=4ax-1有兩個(gè)解x₁，x₂
?函數(shù)g（x）=lnx+1-4ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)
?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-4a=$\frac{1-4ax}{x}$．
①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，f′（x）單調(diào)遞增，因此g（x）=f′（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{4a}$，
∵x∈（0，$\frac{1}{4a}$），g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；x∈（$\frac{1}{4a}$，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴x=$\frac{1}{4a}$是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，則g（$\frac{1}{4a}$）＞0，即ln$\frac{1}{4a}$+1-1=-ln（4a）＞0，
∴l(xiāng)n（4a）＜0，∴0＜4a＜1，即0＜a＜$\frac{1}{4}$．
故當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{4}$時(shí)，g（x）=0有兩個(gè)根x₁，x₂，且x₁＜$\frac{1}{4a}$＜x₂，又g（1）=1-4a＞0，
∴x₁＜1＜$\frac{1}{4a}$＜x₂，從而可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x₁）上遞減，在區(qū)間（x₁，x₂）上遞增，在區(qū)間（x₂，+∞）上遞減．
∴f（x₁）＜f（1）=-2a＜0，f（x₂）＞f（1）=-2a＞-$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．