Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-k（$\frac{1}{2{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$），若x=1是函的f（x）的唯一一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，e]
• B． （-∞，-$\frac{1}{e}$）
• C． （-∞，-$\frac{1}{e}$]∪{0}
• D． （-∞，-$\frac{1}{e}$]∪{0，e}

Answer 1

分析 由f（x）的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出，需要對(duì)k進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)確定導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的根．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-k（$\frac{1}{2{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$），x≠0，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$-k（-$\frac{1}{{x}^{3}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{（x-1）（{xe}^{x}-k）}{{x}^{3}}$，
∵x=1是函數(shù)f（x）的唯一一個(gè)極值點(diǎn)
∴x=1是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0的唯一根．
∴xe^x-k=0在（-∞，0），（0，+∞）無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，
令g（x）=xe^x-k，g′（x）=e^x（x+1），
令g′（x）＞0，解得：x＞-1，令g′（x）＜0，解得：x＜-1，
∴g（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，0），（0，+∞）遞增，
g（x）的最小值為g（-1）=-$\frac{1}{e}$-k≥0，解得：k≤-$\frac{1}{e}$，
又k=0時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
x=1是函的f（x）的唯一一個(gè)極值點(diǎn)，符合題意，
綜上所述，k（-∞，-$\frac{1}{e}$]∪{0}．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定極值問(wèn)題．對(duì)參數(shù)需要進(jìn)行討論．