已知a,b,c均為正數(shù),證明:≥6,并確定a,b,c為何值時,等號成立.
【答案】分析:證法一:兩次利用基本不等式放小,此處不用考慮等號成立的條件,因等號不成立不影響不等號的傳遞性.
證法二:先用基本不等式推出a2+b2+c2≥ab+bc+ac與兩者之和用基本不等式放小,整體上只用了一次放縮法.其本質(zhì)與證法一同.
解答:證明:
(證法一)
因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由平均值不等式得
所以②(6分)


所以原不等式成立.(8分)
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,①式和②式等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)時,③式等號成立.
即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時,原式等號成立.(10分)
(證法二)
因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由基本不等式得
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理②(6分)


所以原不等式成立.(8分)
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,①式和②式等號成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3時,③式等號成立.
即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時,原式等號成立.(10分)
點(diǎn)評:考查放縮法在證明不等式中的應(yīng)用,本題在在用縮法時多次用到基本不等式,請讀者體會本題證明過程中不考慮等號是否成立的原理,并與利用基本不等式求最值再據(jù)最值成立的條件求參數(shù)題型比較.深入分析等號成立的條件什么時候必須考慮,什么時候可以不考慮.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a,b,c均為正實(shí)數(shù),記M=max{
1
ac
+b,
1
a
+bc,
a
b
+c}
,則M的最小值為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•浦東新區(qū)二模)已知直角△ABC的三邊長a,b,c,滿足a≤b<c
(1)在a,b之間插入2011個數(shù),使這2013個數(shù)構(gòu)成以a為首項(xiàng)的等差數(shù)列{an },且它們的和為2013,求c的最小值;
(2)已知a,b,c均為正整數(shù),且a,b,c成等差數(shù)列,將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列S1,S2,S3,…Sn,且Tn=-S1+S2-S3+…+(-1) nSn,求滿足不等式T2n>6•2n+1的所有n的值;
(3)已知a,b,c成等比數(shù)列,若數(shù)列{Xn}滿足
5
Xn=(
c
a
)n-(-
a
c
)n
(n∈N+),證明:數(shù)列{
Xn
}中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長均可以構(gòu)成直角三角形,且Xn是正整數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多作,則按所做的前兩題計(jì)分.作答時,先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑,并將選題號填入括號中.
(1)選修4一2:矩陣與變換
設(shè)矩陣M所對應(yīng)的變換是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到2倍,縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸縮變換.
(Ⅰ)求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量;
(Ⅱ)求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1
在M-1的作用下的新曲線的方程.
(2)選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線C1
x=1+tcosα
y=tsinα
(t為參數(shù)),C2
x=cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)α=
π
3
時,求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)過坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線,垂足為A,P為OA中點(diǎn),當(dāng)α變化時,求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程.
(3)選修4一5:不等式選講
已知a,b,c均為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1.求
4a+1
+
4b+1
+
4c+1
的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省高三下學(xué)期2月月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:填空題

已知a,b,c均為正實(shí)數(shù),記,則M的最小值為    

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知直角△ABC的三邊長a,b,c,滿足a≤b<c
(1)在a,b之間插入2011個數(shù),使這2013個數(shù)構(gòu)成以a為首項(xiàng)的等差數(shù)列{an },且它們的和為2013,求c的最小值;
(2)已知a,b,c均為正整數(shù),且a,b,c成等差數(shù)列,將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列S1,S2,S3,…Sn,且數(shù)學(xué)公式,求滿足不等式數(shù)學(xué)公式的所有n的值;
(3)已知a,b,c成等比數(shù)列,若數(shù)列{Xn}滿足數(shù)學(xué)公式(n∈N+),證明:數(shù)列{數(shù)學(xué)公式 }中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長均可以構(gòu)成直角三角形,且Xn是正整數(shù).

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