14.函數(shù)f(x)=4sin$\frac{π}{2}$x-$\sqrt{6x-{x}^{2}}$所有零點的和等于18.

分析 作出y=4sin$\frac{π}{2}$x和y=$\sqrt{6x-{x}^{2}}$的函數(shù)圖象,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷f(x)的零點個數(shù),根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性得出零點之和.

解答 解:令f(x)=0得4sin$\frac{π}{2}$x=$\sqrt{6x-{x}^{2}}$,
令g(x)=4sin$\frac{π}{2}$x,h(x)=$\sqrt{6x-{x}^{2}}$,
做出y=g(x)和y=h(x)的函數(shù)圖象如圖所示:

顯然x=0和x=6為f(x)的零點,
且f(x)在(1,3)和(3,5)上各存在一個零點,
∵g′(x)=2πcos$\frac{π}{2}$x,∴g′(0)=2π,
∵y=h(x)的圖象為圓心為(3,0),半徑為3的半圓,
∴y=h(x)在(0,0)處的切線為y軸,
∴f(x)在(0,1)上存在零點,
同理f(x)在(5,6)上存在一個零點.
∴f(x)在[0,6]上共有6個零點,
∵g(x)和h(x)的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=3對稱,
∴f(x)的零點關(guān)于直線x=3對稱,
∴f(x)的所有零點之和為6×3=18.
故答案為:18.

點評 本題考查了函數(shù)零點的個數(shù)判斷,函數(shù)圖象的性質(zhì),屬于中檔題.

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