Question

如圖所示，橢圓C₁、C₂與雙曲線C₃、C₄的離心率分別是e₁、e₂與e₃、e₄，e₁、e₂、e₃、e₄的大小關(guān)系是（ ）

A．e₂＜e₁＜e₃＜e₄
B．e₂＜e₁＜e₄＜e₃
C．e₁＜e₂＜e₃＜e₄
D．e₁＜e₂＜e₄＜e₃

Answer 1

【答案】分析：由圖可得橢圓C₁、C₂與雙曲線C₃、C₄具有相同的a值，根據(jù)兩個橢圓的短軸大小關(guān)系，算出e₁＞e₂；根據(jù)兩個雙曲線的張口大小關(guān)系，算出e₃＜e₄．最后根據(jù)雙曲線的離心率都大于1，而橢圓的離心率都小于1，得出e₁、e₂、e₃、e₄的大小關(guān)系．
解答：解：對于橢圓C₁、C₂，它們有相同的a值，設(shè)它們的短軸分別為2b₁和2b₂，焦距分別為2c₁和2c₂，
∵b₁＜b₂，∴c₁=＞=c₂，
可得＞，即e₁＞e₂；
對于雙曲線C₃、C₄，它們也有相同的a值，設(shè)它們的虛軸分別為2b₃和2b₄，焦距分別為2c₃和2c₄，
∵雙曲線C₃的張口小于雙曲線C₄的張口，
得雙曲線C₃的漸近線所夾的銳角要小于雙曲線C₄的漸近線所夾的銳角
∴＜，得b₃＜b₄，即＜
由此可得c₃＜c₄，得＜，即e₃＜e₄．
∵e₁、e₂都小于1，e₃、e₄都大于1，
∴e₂＜e₁＜e₃＜e₄
故選：A
點評：本題給出具有公共a值的一組橢圓和雙曲線，討論它們離心率之間的大小關(guān)系，著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．